यदि समीकरण निकाय 2x + 3y - z = 5,x + alpha y | vedclass

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Question

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह की कोटि $3$ से कम होनी चाहिए।गुणांक आव्यूह $

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$1120$

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(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह की कोटि $3$ से कम होनी चाहिए।गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \ 1 & \alpha & 3 \ 3 & -1 & \beta \end{bmatrix}$ है।$|A| = 0$ रखने पर:$2(\alpha\beta + 3) - 3(\beta - 9) - 1(-1 - 3\alpha) = 0$$2\alpha\beta + 6 - 3\beta + 27 + 1 + 3\alpha = 0$$2\alpha\beta + 3\alpha - 3\beta + 34 = 0$ (समीकरण $1$)चूंकि निकाय के अनंत हल हैं,इसलिए समतल रैखिक रूप से आश्रित होने चाहिए। हम तीसरे समीकरण को पहले दो समीकरणों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: $L_3 = c_1 L_1 + c_2 L_2$।गुणांकों की तुलना करने पर:$2c_1 + c_2 = 3$$3c_1 + c_2\alpha = -1$$-c_1 + 3c_2 = \beta$$5c_1 - 4c_2 = 7$पहले और अंतिम समीकरण का उपयोग करके $c_1$ और $c_2$ के लिए हल करने पर:$c_2 = 3 - 2c_1$$5c_1 - 4(3 - 2c_1) = 7 \implies 5c_1 - 12 + 8c_1 = 7 \implies 13c_1 = 19 \implies c_1 = \frac{19}{13}$$c_2 = 3 - 2(\frac{19}{13}) = \frac{39 - 38}{13} = \frac{1}{13}$$c_1$ और $c_2$ के मानों को अन्य समीकरणों में रखने पर:$3(\frac{19}{13}) + \alpha(\frac{1}{13}) = -1 \implies 57 + \alpha = -13 \implies \alpha = -70$$-(\frac{19}{13}) + 3(\frac{1}{13}) = \beta \implies \beta = \frac{-16}{13}$अंत में,$13\alpha\beta = 13(-70)(\frac{-16}{13}) = 70 	imes 16 = 1120$।

यदि समीकरण निकाय $2x + 3y - z = 5$,$x + \alpha y + 3z = -4$,और $3x - y + \beta z = 7$ के अनंत हल हैं,तो $13\alpha\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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